Mathematik

• allgemeines Dreieck
• 2+2=5

Der englische Mathematiker William Jones verwendete in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) als erster den griechischen Kleinbuchstaben „Pi“, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken.

Leonhard Euler verwendete erstmals 1737 den griechischen Kleinbuchstaben „Pi“ für die Kreiszahl, nachdem er zuvor p verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

Pi auf 51 stellen hinter dem Komma genau:

Pi=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…

Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der (regulären) Kettenbruchdarstellung von „Pi“ keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.

Die Genauigkeit von 200 dezimalen Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern:

„Pi“ = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, …]

#!/bin/bash

echo "3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4" \
| tr -s '[;,]' '\n' \
| tac \
| while read ZAHL
do
        if [ -z "${FORMEL}" ] ; then
                FORMEL="${ZAHL}"
        else
                FORMEL="(${ZAHL}+1/${FORMEL})"
        fi
        echo "${FORMEL}"
done | tail -n1 | sed -e 's/.*/scale=201;&/' | bc -sl

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307\
81640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058\
2231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381958

eulersche Zahl: e = 2,718281828459…

Die Kettenbruchentwicklung von e weist folgendes Muster auf, welches sich bis ins Unendliche fortsetzt:

e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,…]

#!/bin/bash

echo "2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1" \
| tr -s '[;,]' '\n' \
| tac \
| while read ZAHL
do
        if [ -z "${FORMEL}" ] ; then
                FORMEL="${ZAHL}"
        else
                FORMEL="(${ZAHL}+1/${FORMEL})"
        fi
        echo "${FORMEL}"
done | tail -n1 | sed -e 's/.*/scale=64;&/' | bc -sl

2.7182818284642508923782694452544440585600629510636232896063239753

Die von Geoffrey Miller beschriebene Regel besagt nun: Man untersuche 37 % der Elemente der gegebenen Menge und finde darin das optimale Element. Dann untersucht man weiter einzelne Elemente, bis man ein Element findet, das besser ist als das bisher gefundene Optimum. Dieses Element wählt man.

Bekannt wurde die 37-%-Regel vor allem durch Geoffrey Miller, der sie in seinem Buch The Mating Mind als mögliches Verfahren für die Partnerauswahl beschreibt. Zurück geht die Regel auf das sogenannte Sekretärinnenproblem, für das Eugene Dynkin in einer Arbeit aus dem Jahr 1963 (also zwei Jahre vor der Geburt von Miller) die 1/e-Regel bewies: E. Dynkin, Optimal choice of the stopping time of a Markov process, DAN150, 2 (1963), 238-240 (Original in russisch). Es ist gerundet 1/e = 37 %.

Durch den Goldenen Schnitt, Goldene Zahl oder auch göttliche Teilung wird ein Zahlenwert bezeichnet, den man in der Natur vielerorts wieder findet.

Die Goldene Zahl ist eine irrationale Zahl, das heißt sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie ist jedoch algebraisch vom Grad 2, insbesondere kann sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.

Goldene Zahl: (1 + (5^(1/2))) / 2 = 1,618033989

Es ist aber auch möglich, die Goldene Zahl aus zwei aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu errechnen. Je größer die gewählten Zahlen aus der Fibonaccifolge sind, desto genauer ist das Ergebnis.

#!/bin/bash
ANZAHL=12
F1=0
F2=1
seq 1 ${ANZAHL} | while read NR
do
      F0="${F1}"
      F1="${F2}"
      F2="$(echo "${F0} ${F1}" | awk '{print $1 + $2}')"
      echo "${F1} ${F2}"
done | tail -n1 | awk '{print $2 / $1}'

1.61806

oder etwas genauer:

#!/bin/bash
ANZAHL=1000
F1=0
F2=1
seq 1 ${ANZAHL} | while read NR
do
      F0="${F1}"
      F1="${F2}"
      F2="$(echo "${F0} ${F1}" | awk '{print $1 + $2}')"
      echo "${F2}/${F1}"
done | tail -n1 | sed -e 's/.*/scale=64;&/' | bc -sl

1.6180339887498947632616049556262288464091295010575358933548097604

Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen (den Fibonacci-Zahlen), bei der sich die jeweils folgende Zahl durch Addition der beiden vorherigen Zahlen ergibt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Benannt ist sie nach Leonardo Fibonacci, der damit 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Reihe war aber schon in der indischen und westlichen Antike bekannt.

#!/bin/bash
ANZAHL=12
F1=0
F2=1
seq 1 ${ANZAHL} | while read NR
do
      F0="${F1}"
      F1="${F2}"
      F2="$(echo "${F0} ${F1}" | awk '{print $1 + $2}')"
      echo "${F2}"
done

1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da „Pi“ irrational ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang.

Euler fand heraus, dass periodische Kettenbrüche (so wie bei der Quadratwurzel von 2 oder bei der goldenen Zahl) quadratischen Irrationalzahlen entsprechen, und Lagrange zeigte später, dass alle diese Zahlen periodische Kettenbrüche haben.

Man kann beweisen, dass jeder unendliche Kettenbruch konvergiert. Ganz ähnlich, wie man reelle Zahlen durch Dezimalzahlen darstellt, kann man weiter zeigen, dass

• die Zuordnung Kettenbruch ←→ reelle Zahl bijektiv ist (d.h. zu jeder reellen Zahl es genau einen Kettenbruch gibt, der sie darstellt und umgekehrt)
• und die endlichen Kettenbrüche gerade zu den rationalen Zahlen gehören.

Aus den oben genannten Kettenbruch-Zahlenwerten für „Pi“, baut dieses Script den entsprechenden Kettenbruch zusammen:

#!/bin/bash
echo "3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4" \
| tr -s '[;,]' '\n' \
| tac \
| while read ZAHL
do
        if [ -z "${FORMEL}" ] ; then
                FORMEL="${ZAHL}"
        else
                FORMEL="(${ZAHL}+1/${FORMEL})"
        fi
        echo "${FORMEL}"
done | tail -n1

(3+1/(7+1/(15+1/(1+1/(292+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(3+1/(1+1/(14+1/(2+1/(1+1/(1+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+1/(1+1/(84+1/(2+1/(1+1/(1+1/(15+1/(3+1/(13+1/(1+1/(4+1/(2+1/(6+1/(6+1/(99+1/(1+1/(2+1/(2+1/(6+1/(3+1/(5+1/(1+1/(1+1/(6+1/(8+1/(1+1/(7+1/(1+1/(2+1/(3+1/(7+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(12+1/(1+1/(1+1/(1+1/(3+1/(1+1/(1+1/(8+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(6+1/(1+1/(1+1/(5+1/(2+1/(2+1/(3+1/(1+1/(2+1/(4+1/(4+1/(16+1/(1+1/(161+1/(45+1/(1+1/(22+1/(1+1/(2+1/(2+1/(1+1/(4+1/(1+1/(2+1/(24+1/(1+1/(2+1/(1+1/(3+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(10+1/(2+1/(5+1/(4+1/(1+1/(2+1/(2+1/(8+1/(1+1/(5+1/(2+1/(2+1/(26+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(8+1/(2+1/(42+1/(2+1/(1+1/(7+1/(3+1/(3+1/(1+1/(1+1/(7+1/(2+1/(4+1/(9+1/(7+1/(2+1/(3+1/(1+1/(57+1/(1+1/(18+1/(1+1/(9+1/(19+1/(1+1/(2+1/(18+1/(1+1/(3+1/(7+1/(30+1/(1+1/(1+1/(1+1/(3+1/(3+1/(3+1/(1+1/(2+1/(8+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(15+1/(1+1/(2+1/(13+1/(1+1/(2+1/(1+1/(4+1/(1+1/(12+1/(1+1/(1+1/(3+1/(3+1/(28+1/(1+1/(10+1/(3+1/(2+1/(20+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(1+1/(5+1/(3+1/(2+1/(1+1/(6+1/(1+1/4))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Das Pentagonhexakontaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum abgeschrägten Dodekaeder und hat 92 Ecken sowie 150 Kanten. Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonhexakontaeder.

Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 153°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Ich finde diesen geometrischen Körper deshalb so interessant, weil hier ein kugelähnlicher 3D-Körper aus nur einer einzigen 2D-Geometrie besteht.

Normalerweise ist es üblich mindestens zwei verschiedene 2D-Geometrie zum erstellen eines kugelähnlicher Gebildes zu verwenden. Ein Fußball zum Beispiel besteht aus gleichseitigen 5-Ecken und 6-Ecken, auch ist es üblich 5-Ecke zusammen mit gleichseitigen 3-Ecken zu verwenden.

Hier wird aber nur eine einzige Geometrie verwendet.